Op deze pagina zal ik onderzoeken of mijn vakkennis op het juiste niveau is om goed les te geven. Maar laten we beginnen met de vraag: wat maakt iemand tot een goede vakinhoudelijke docent? Welke criteria moet ik vervullen? Welke eigenschappen en vaardigheden dien ik te bezitten? Om inzicht te krijgen in deze kwesties, heb ik een document ontdekt op SharePoint. In dit document wordt een definitie gegeven van een vakinhoudelijke docent, inclusief de benodigde eigenschappen en vaardigheden (Bekwaamheidseisen - onderzoekwijs coöperatie, z.d.).

Staat boven de lesstof

Op dit moment geef ik les aan leerlingen in het eerste en tweede leerjaar van de theoretische leerweg (Afgekort 1tl en 2tl), evenals aan leerlingen in het eerste jaar van havo/tl (1havo/tl). Het is een understatement om te zeggen dat mijn kennisniveau aanzienlijk hoger is dan de lesstof die ik onderwijs. Tijdens mijn opleiding heb ik uitgebreide wiskundige kennis opgedaan die verder gaat dan wat ik momenteel aan mijn leerlingen overbreng. Ik kan dus wel stellen dat ik momenteel ver boven de lesstof sta. Het is belangrijk om er wel voor te zorgen dat ik altijd op dat niveau boven de lesstof blijf staan.

Elk jaar rondom de examenperiode neem ik zelf deel aan de wiskunde examens voor tl en havo (wiskunde b). Soms, als ik tijd heb, doe ik ook het vwo wiskunde B-examen. Ik doe dit niet alleen omdat ik wiskunde nog steeds een fascinerend vak vind, maar ook omdat ik het zie als het oplossen van puzzels. Deze aanpak van examens maken helpt me scherp te blijven in de wiskunde en geeft me inzicht in wat mijn leerlingen in de toekomst kunnen verwachten. Zo blijf ik op niveau.

Hoewel ik momenteel alleen lesgeef op het vmbo-niveau, vraag je je misschien af waarom ik ook de examens voor havo en vwo maak. Het feit is dat ik me momenteel heel tevreden voel op het vmbo, maar ik sluit niet uit dat ik in de toekomst misschien de overstap naar havo/vwo zou willen maken. Als ik echter jarenlang op het vmbo-niveau lesgeef en mijn wiskunde niet op het vereiste niveau houdt, zou deze overstap moeilijker kunnen zijn. Daarom blijf ik elk jaar het examen afleggen, om mezelf scherp te houden voor eventuele toekomstige uitdagingen.

Dankzij mijn opleiding heb ik wiskundige vakken gevolgd die aanzienlijk uitstijgen boven het niveau van de stof die ik momenteel onderwijs. Ik heb met succes al deze vakken afgerond en mijn kennisbasistoets behaald met een score van 7. Dit toont aan dat ik over de nodige wiskundige vaardigheden beschik om les te geven. Mijn kennisniveau overstijgt ruimschoots datgene wat ik moet overbrengen. 

Bovendien besteed ik mijn vrije tijd aan het lezen van het tijdschrift Euclides. Dit tijdschrift heb ik leren kennen tijdens mijn studie en op school heb ik er een paar keer in gebladerd. Destijds had ik geen abonnement, maar dit veranderde nadat we met onze opleiding een bezoek brachten aan een wiskundig museum. In dat museum raakte ik geïnspireerd om me meer te verdiepen in het vakgebied en daarom besloot ik een abonnement op Euclides te nemen. Aanvankelijk las ik het tijdschrift voornamelijk voor de wiskundige puzzels, maar later begon ik ook de didactische artikelen interessant te vinden. Kortom, naast mijn opleiding en mijn werk, besteed ik mijn vrije tijd aan wiskunde en ook dit draagt bij aan mijn vakinhoudelijke niveau.

Euclides

Euclides is een tijdschrift speciaal voor wiskundedocenten. In dit tijdschrift worden veel onderwerpen aangedragen die van toepassing kunnen zijn voor een wiskunde docent. Hieronder enkele artikelen die ik gebruik ter inspiratie voor mijn lessen.  

"Ruimte voor nadenken". In dit stuk wordt aan de hand uitgelegd dat de manier van vraagstelling alles bepalend is. Om dit te illustreren werd een voorbeeld over het bereken van het gemiddelde gebruikt. Het gemiddelde berekenen is zo veel meer dan alle getallen bij elkaar optellen en delen door de hoeveelheid getallen. Maar zien de leerlingen dat ook in? Hoe de vraag gesteld wordt bepaald wat je moet berekenen en hoe nauwlettender je een vraag leest hoe duidelijker zou moeten worden wat de vraag precies is. Het is de opdracht aan de leerlingen om de vraag goed te lezen en uit de tekst te halen wat er daadwerkelijk gevraagd wordt. Aan de opdracht-maker is het dus de taak dat de tekst zo geformuleerd wordt dat het voor de lezer duidelijk is wat er gevraagd wordt. Door een onduidelijke formulering kunnen vragen op meerdere manieren geïnterpreteerd worden en kan het zo zijn dat leerlingen dus de verkeerde vraag beantwoorden; het verkeerde berekenen (Den Braber et al., 2021).

"Machten in de brugklas". Dit artikel begint met een verhaal over een koning die zich verveelde. Hij liet een knecht een spel bedenken tegen de verveling. Die knecht kwam een paar dagen later terug met een spel dat wij nu schaken noemen. De koning was zeer gecharmeerd van het spel en wou de knecht graag bedanken met een beloning die de knecht zelf mocht bepalen. De knecht dacht even na en zei vervolgens: “Op het eerste vakje van het schaakbord wil ik één rijstkorrel, op het tweede vakje twee rijstkorrels, op het derde vakje vier rijstkorrels en zo het hele schaakbord vol”. De koning keurde de beloning goed en dacht goedkoop uit te zijn. Maar toen de knecht betaald moest worden kwam de koning erachter dat hij niet genoeg rijst in zijn koninkrijk had om zijn knecht te betalen. Hij had namelijk 3,7*10^19 rijstkorrels nodig. Op het laatste vakje alleen al moesten 1,8*10^19 rijstkorrels komen te liggen (Van Dongen, 2022). Dit verhaal vond ik erg interessant om te lezen. Als ik het begrip machten uit ga leggen wil ik de les beginnen door dit verhaal te vertellen. In onderstaand document is de berekening te vinden. 

In het artikel "Pizza of geen pizza?" heeft de schrijver het over context geven bij het oplossen van breuken. Breuken is één van de onderwerpen die mijn leerlingen erg moeilijk vinden. In het artikel werd benadrukt dat het van belang is om aan te sluiten bij de voorkennis waarmee leerlingen van de basisschool komen. Uit onderzoek blijkt dat leerlingen op de basisschool veel werken met context-vragen en plaatjes. Op de middelbare school wordt veel meer gebruikgemaakt van kale sommen. Deze overstap is voor sommige leerlingen te groot en hierdoor snappen ze breuken niet meer. De oplossing zou kunnen zijn om meer context- en verhaaltjes-sommen te gebruiken op de middelbare school om zo de overstap van de basis- naar de middelbare school kleiner te maken. Dus op de vraag: pizza of geen pizza? Is het antwoord ja. Maar de overstap naar kale sommen moet uiteindelijk wel gemaakt worden. Een onderwerp als breuken kan wel geïntroduceerd worden met context-vragen en plaatjes, maar er moet uiteindelijk overgestapt worden naar kale sommen (Mostert & Hickendorff, 2022). Na het lezen van dit artikel ben ik nu veel bewuster bezig met het hoofdstuk breuken. Ik weet nu dat ik dit onderwerp moet beginnen met context-vragen en plaatjes om zo goed aan te sluiten op de voorkennis vanuit de basisschool. Wel moet de overstap naar kale sommen uiteindelijk gemaakt worden. 

Misconcepten

Misconcepten en fouten zijn twee verschillende dingen. Vaak worden deze met elkaar verbonden maar niet elke fout die een leerling maakt komt door een misconcept. Wel lijdt een misconcept tot fouten. Als een leerling een verkeerde gedachten heeft bij een begrip is dat een misconcept. Een voorbeeld van een misconcept zou kunnen zijn dat wanneer je vermenigvuldigt het getal altijd groter moet worden. Dit is een theorie die een leerling misschien zou kunnen bedenken op de basisschool, want op de basisschool hebben leerlingen niet geleerd om te vermenigvuldigen met een decimaal of met een negatief getal en zo zou het idee kunnen ontstaan dat bij vermenigvuldigen het antwoord altijd groter moet worden. Dit is een welbekend misconcept die ik in de praktijk regelmatig tegenkomen. Een ander misconcept die ik regelmatig tegenkom is -2 + - 3 = 5, want min en min is plus. Hierbij ontstaat een verkeerd beeld van negatieve getallen en word de regel min en min is plus niet in de juiste situatie toegepast. Het is van belang om misconcepten zo snel mogelijk te herstellen. Wanneer een misconcept al enige tijd in de gedachten zit van een leerling is het moeilijk uit te wissen. Zo is nieuwe kennis vergaren gemakkelijker dan oude kennis vergeten en deze vervangen voor nieuwe. Iets afleren is moeilijker dan iets leren (Daems & Van Den Bogaart, 2023). Tijdens het vak wiskunde didactiek 2 op Windesheim heb ik een college gehad over misconcepten. Hierbij werd het belang aangestipt, maar ook een methode om misconcepten te achterhalen. Eén van de methodes om misconcepten te achterhalen is om een diagnostische toets af te nemen. Een vraag in een diagnostische toets kan een meerkeuze vraag zijn waarbij direct duidelijk wordt welk misconcept een leerling heeft. Aan de docent de taak om een goede vraag te maken en misschien nog wel belangrijker om goede foute antwoorden te maken, die zouden kunnen berusten op een misconcept. (Stevens, 2024). 

Nu duidelijk is wat een misconcept is en hoe deze gevonden kan worden is het van belang om misconcepten te herstellen en aan leerlingen duidelijk te maken hoe het wel moet. Een misconcept is iets wat een leerling zelf heeft bedacht of verkeerd heeft geïnterpreteerd. Hierdoor is vertellen dat een leerling het fout doet niet genoeg, er is meer voor nodig om er voor te zorgen dat een leerling de fout niet nog een keer maakt (Daems & Van Den Bogaart, 2024). Een voorbeeld hiervan: Een misconcept wat ik tegenkom in de les is dat leerlingen bij het invullen van een tabel bij een lineaire functie gebruik maken van de regels van een verhoudingstabel. Tijdens de les heb ik verteld dat dit niet mocht bij formules, maar toch maakten deze leerlingen dezelfde fout later in de les nog een keer. Zo kan je zien dat het hardnekkig is om van een misconcept af te komen. Leerlingen moeten zelf tot de conclusie komen dat hun betekenis van een begrip fout is en zelf ervaren hoe het wel moet. In bovenstaand voorbeeld heb ik de leerlingen bij het invullen van de tabel elke keer de formule laten opschrijven. Zo kwamen ze er zelf achter dat in dit geval de regels van een verhoudingstabel niet opgaan. 

Lesstof samenstellen, kiezen en/of bewerken

Vakinhoudelijke bekwaamheid houdt niet alleen in dat je de lesstof beheerst, maar ook dat je als docent in staat bent om lesmateriaal samen te stellen, te selecteren of aan te passen. Dit doe ik regelmatig door het creëren van werkbladen. Dit doe ik sinds mijn blog over Klassenmanagement . Het is van belang dat ik het tempo van mijn lessen niet laat dicteren door het tempo van het lesboek, maar dat ik mij richt op de voorkennis van mijn leerlingen. Als docent streef je ernaar om te werken in het gebied van naaste ontwikkeling (Vygotsky, 1934). Persoonlijk vond ik dat het lesboek hierin tekortschoot, daarom heb ik zelf studiemateriaal ontwikkeld in de vorm van werkbladen. Ik koos voor werkbladen omdat ze eenvoudig inzetbaar zijn. Ik kan de papieren aan de leerlingen uitdelen, waarna ze er direct mee aan de slag kunnen. Ik probeer zoveel mogelijk het gebruik van iPads of laptops te vermijden, omdat deze vaak een grote afleiding vormen voor leerlingen. Ze besteden dan meer aandacht aan de iPad of de laptop dan aan de opdracht.

In de werkbladen hieronder vind je voornamelijk opdrachten en minder uitleg. Dit heb ik gedaan omdat ik de uitleg in het boek doorgaans adequaat vond, maar ik was minder tevreden over de oefenopdrachten die in het boek stonden. Daarom heb ik werkbladen gemaakt met opdrachten waarmee de leerlingen konden oefenen met de lesstof.

Wat betreft het werkblad over de balansmethode vond ik dat het boek onvoldoende uitleg en voorbeelden bood. Daarom wilde ik de leerlingen een schriftelijke uitleg verschaffen die ze later kunnen raadplegen. Daarom bevat dit werkblad delen theorie gevolgd door oefenopdrachten. De opdrachten zijn oplopend in moeilijkheidsgraad. Deze aanpak is bewust gekozen, zodat leerlingen positief gestimuleerd worden als ze de eerste opgaven goed kunnen maken. Vervolgens volgt stapsgewijze theorie die uitlegt hoe ze altijd kunnen teruggaan naar een herkenbare situatie die oplosbaar is. Voor dit werkblad maak ik gebruik van een instrument om de leerlingen te helpen bij het oplossen van vergelijkingen. Tijdens de lessen heb ik geprobeerd het concept van een fysieke weegschaal te gebruiken om de balansmethode relationeel te verduidelijken, maar met een werkblad kan het op een instrumentele manier uitgelegd worden en dat is praktischer, sneller en beknopter(Skemp, 1976). Ondanks dat een relationele manier van begrijpen beter kan zijn, heb ik ervoor gekozen om dit onderwerp op een instrumentale wijze uit te leggen. Dit doe ik voornamelijk omdat de planning bij wiskunde best strak is. Relationele manieren van uitleggen neemt veel meer tijd in beslag en is in mijn ogen vooral passend voor een klein groepje leerlingen die al goed zijn in wiskunde. Voor de meerderheid van mijn klas is wiskunde een erg moeilijk vak en is een stappenplan effectiever in gebruik. 

Nieuwe wiskunde methode kiezen

Op dit moment geef ik les aan- en ben ik verantwoordelijk voor de VH-1 klassen. Vanuit een VH-1 klas kan een leerling naar 2havo of naar 2tl gaan. Op dit moment is de lesstof afgestemd op havo en daar wilde het bestuur van de school verandering in brengen. Volgend jaar krijgt deze stroming een andere naam en willen ze dat het niveau meer tussen tl en havo in gaat zitten. Verder gaan de hoeveelheid lessen van vier naar drie uur per week, om ruimte te maken voor andere vakken. Om dit allemaal te bewerkstelligen moet er een nieuwe wiskunde methode komen voor deze klassen. Momenteel gebruiken wij getal en ruimte vwo/havo en deze methode sluit niet meer aan op de nieuwe visie van het bestuur. Aan mij was de vraag gesteld of ik wilde onderzoeken welke methode zou aansluiten. In onderstaande document is te lezen hoe ik tot een nieuw boek ben gekomen.

Verbanden leggen dagelijks leven

Als docent met vakinhoudelijke expertise is het belangrijk om de lesstof te relateren aan het dagelijks leven van de leerlingen. Hoewel dit met wiskunde niet altijd eenvoudig is, doe ik toch mijn best om dit zoveel mogelijk toe te passen. Hier volgen enkele voorbeelden:

- In mijn lessen over grafieken heb ik de waarde van Bitcoin getoond, wat mijn leerlingen verrassend interessant vonden. Ze waren nieuwsgierig naar hoeveel een Bitcoin waard is en wat de waarde gisteren was. Dit heb ik geïllustreerd met een grafiek en uitgelegd hoe je deze grafiek interpreteert.

- Tijdens het hoofdstuk over ruimtelijke figuren heb ik mijn leerlingen herhaaldelijk gevraagd om voorbeelden te noemen van balken, bollen, kegels en andere ruimtelijke figuren. De antwoorden die ik ontving waren onder andere 'houten plank', 'voetbal' en 'cornetto'.

- Om het concept van procenten te introduceren, heb ik gebruikgemaakt van korting als voorbeeld. Waar komen we procenten tegen? Dit was de vraag die ik stelde om dit onderwerp aan te snijden.

En zo zijn er nog veel meer voorbeelden te noemen hoe je wiskunde in het dagelijks leven laat terugkomen. 

Kerndoelen, eindtermen en eindexamenprogramma

Als vakinhoudelijke docent moeten ik nadenken over verschillende zaken, zoals welk jaar we welke onderwerpen behandelen, welke strategieën we leerlingen aanleren om vraagstukken op te lossen, en wanneer we bepaalde hoofdstukken uit het lesboek behandelen. Samenwerking met collega's is hierbij van groot belang. Gelukkig verloopt overleg zeer constructief en effectief. Een concreet voorbeeld van deze samenwerking is het afstemmen van het Programma van Toetsing en Afsluiting (PTA) van T1 met dat van K1. Dit afstemmen is gedaan om de overgang voor instromende leerlingen halverwege het jaar soepeler te laten verlopen. De planning speelt hierbij een cruciale rol, omdat we op hetzelfde moment vergelijkbare hoofdstukken behandelen. Daarnaast heeft onze vakgroep gezamenlijk besloten om een specifieke oplossingsstrategie te hanteren. Voor het oplossen van vergelijkingen hebben we in de onderbouw van de TL-klassen gekozen voor de methode 'inklemmen'. Deze keuze is in samenspraak met de docenten in de bovenbouw gemaakt. In het TL-examen heeft 'inklemmen' namelijk een groter gewicht dan 'pijlenketting'. Daarom hebben we gezamenlijk besloten om deze oplossingsstrategie te implementeren.

Conclusie

Op deze pagina wil ik bewijzen dat ik vakinhoudelijk op het juiste niveau zit voor een startbevoegde docent. Een goed vakinhoudelijk niveau betekent dat de docent boven de lesstof staat. Ik durf overtuigd te zeggen dat ik op het juiste niveau, boven de lesstof, sta. Door de kennis die ik heb verkregen tijdens mijn opleiding, het lezen van Euclides en al ruim twee jaar ervaring op Groevenbeek weet ik alle vragen van mijn leerlingen over wiskunde of de context van een wiskundig onderwerp te beantwoorden. 

Naast mijn kennis over het vak wiskunde zie ik ook de fouten die leerlingen maken en kunnen maken in de toekomst. Met name de misconcepten die leerlingen in hun hoofd hebben kan ik herstellen. Voor sommige leerlingen is het te laat om een bepaald misconcept te voorkomen en dan heb ik de tools in huis om de leerlingen een nieuw inzicht te geven over wat een begrip daadwerkelijk inhoud, zodat het misconcept hersteld wordt. 

Met de bovengenoemde kennis ben ik in staat om lesstof te ontwikkelen en uit te zoeken. Ik weet wat er van de leerling verwacht wordt en waar een leerling aan het eind van een schooljaar moet staan. Het lesmateriaal laat ik op de voorkennis van de leerling aansluiten en ontwikkel ik zo nodig zelf. 

Leerdoelen